Электростатика. Примеры решения задач
. 
	1. Найти напряженность поля и потенциал во всем пространстве тонкой сферы радиуса , равномерно заряженной до заряда .
	Решение.
Применим теорему Гаусса. Выберем в качестве замкнутой поверхности концентрическую сферу радиуса  (рис.). Очевидно, что напряженность на поверхности этой сферы будет одинакова по величине и направлена по радиусу. Тогда поток напряженности через нее будет . Согласно теореме Гаусса 
    
откуда 
    												
     Выбрав в качестве поверхности сферу радиуса , получим . Таким образом, однородно заряженная сфера во внешней области пространства создает такое же поле, как и заряд, помещенный в ее центре. Внутри сферы поля нет. 
     Найдем потенциал сферы во всем пространстве. Так как вне сферы напряженность поля совпадает с напряженностью заряда, находящегося в центре, то и потенциал при  выразится в виде 
    
     Пронесем единичный положительный заряд из бесконечности до расстояния от центра, меньшего радиуса сферы. Тогда работа, которую необходимо совершить по переносу до поверхности сферы будет равна . Внутри сферы поле равно нулю и работа не совершается. Таким образом 
     при       при  
     при       при  
     На рис.  изображены графики зависимости напряженности и потенциала поля от расстояния до центра однородно заряженной сферы. 
     2. Однородно заряженный шар. Пусть радиус шара , полный заряд . Повторяя рассуждения, приведенные в предыдущей задаче, получим, что вне шара напряженность и потенциал поля совпадают с полем заряда , помещенного в центр сферы: 
         
     Чтобы найти напряженность электрического поля внутри шара, выберем в качестве замкнутой поверхности сферу радиуса  с центром в центре шара. Из симметрии ясно, что напряженность поля направлена по радиусу и одинакова по величине на всей поверхности сферы. Из теоремы Гаусса следует 
    
где  – заряд внутри выбранной поверхности. Введем плотность заряда шара . Тогда 
      и   
     Плотность заряда равна полному заряду, деленному на объем шара: 
    
Для напряженности поля внутри шара получим 
     												
     Найдем потенциал внутри шара. Из определения потенциала, 
формула (1.20) главы 1 следует:
    						
     Первый интеграл имеет смысл работы по переносу единичного положительного заряда из бесконечности до поверхности шара и равен . Второй член  
    
Значение потенциала внутри шара определится выражением 
    
    Окончательно имеем 
      при ,       при  
      при ,       при 
     Заметим, что непрерывен не только потенциал (что и должно быть), но и напряженность электрического поля. Последнее связано с тем, что в системе нет заряженных тонких поверхностей. Поэтому нет и скачка напряженности. На рис. приведены графики зависимости напряженности и потенциала от расстояния до центра однородно заряженного по объему шара. 

     3. Пусть есть две проводящие концентрические сферы радиусов  и . На внутреннюю сферу помещен заряд , а внешняя заземлена (рис.). Требуется определить напряженность и потенциал электрического поля во всем пространстве. 
     Решение. 
     Так как внешняя сфера заземлена, на ней появляется некоторый заряд . Если бы он был известен, напряженность поля легко определилась бы из принципа суперпозиции (напомним, что во внешнем пространстве сфера создает поле, такое же, как точечный заряд, расположенный в ее центре, а внутри поля нет) 
      при 
      при 
      при  
     Для потенциала при  имеем . На поверхности внешней сферы . 
     Так как эта сфера заземлена, . Отсюда 
     
     Тогда напряженность поля при  равна нулю. Вне заземленной сферы поля нет. Этот результат не зависит от формы заземленного проводника. Говорят, что заземленная оболочка экранирует находящиеся внутри заряды: никакие изменения их величины или положения не сказываются снаружи. 
     Понятно, что при  потенциал равен нулю. Для нахождения потенциала между сферами пронесем единичный положительный заряд из бесконечности в данную точку, используя принцип суперпозиции. В поле заряда  работа совершается лишь до поверхности внешней сферы: . А в поле внутренней сферы . Полный потенциал 
    								(2.8)
     Внутри малой сферы , потенциал не меняется и равен потенциалу на поверхности 
    
     На рис.  приведены графики зависимостей  и .