xx

Оглавление 2 Молекулярно-кинетическая теория x2.1 Строение вещества. Уравнение состояния xx2.1.1 Пример – количество атомов xx2.1.2 Пример – химический состав xx2.1.3 Пример – воздух в комнате xx2.1.4 Пример – воздушный шар x2.2 Термодинамика xx2.2.1 Пример – давление и энергия идеального газа xx2.2.2 Пример – работа, тепло и внутренняя энергия xx2.2.3 Пример – работа и КПД цикла xx2.2.4 Пример – динамическое отопление x2.3 Фазовые переходы. Поверхностное натяжение xx2.3.1 Пример – нагревание и кипение воды xx2.3.2 Пример – �пограничное� кипение xx2.3.3 Пример – влажность воздуха xx2.3.4 Пример – капля ртути Главаx2Молекулярно-кинетическая теория

2.1 Строение вещества. Уравнение состояния

2.1.1 Пример – количество атомов Плотность алюминия 2,7 · 10^{3}xкг/м^{3}. Сколько атомов алюминия содержится в объемеx1 см^{3}? Молекулярная масса алюминия 27 · 10^{−3}xкг/моль. Решение Один моль (27 г) алюминия содержит 6 · 10^{23} атомов. В 1xсм^{3} содержится 2,7xг, то есть в 10 раз меньше. Ответ: 6 · 10^{22} атомов.

2.1.2 Пример – химический состав Найдите формулу соединения азота с кислородом, если его масса m = 1xг в газообразном состоянии в объеме V = 1 л создает при температуре T = 17^{∘}C давление P = 3,17 · 10^{4}xПа. Решение Давление определяется из уравнения состояния идеального газа

. P V = \frac{m}{μ}RT.

Определим молекулярную массу соединения

. μ = \frac{mRT}{P V} .

Подставим числа, выразив их в системе единиц СИ: m = 1xг = 10^{−3}xкг, R = 8,31xДж/(моль·К), V = 1xл = 10^{−3}xм^{3}, P = 3,17 · 10^{4}xПа, T = 290xК. Отсюда

. μ = \frac{10^{−3} · 8,31 · 290}{3,17 · 10^{4} · 10^{−3}} = 76 · 10^{−3} кг/моль = 76 г/моль.

Пусть в соединении содержится x атомов азота и y атомов кислорода. Молекулярная масса азота 14xг/моль, кислорода. 16xг/моль. Тогда должно выполняться равенство:

. 14x + 16y = 76.

Так как x и y - целые числа, легко найти, что x = 2, y = 3. Ответ: соединение N_{2}O_{3}.

2.1.3 Пример – воздух в комнате Температура воздуха в комнате объемом V = 45xм^{3} повысилась от t_{1} = 17^{∘}C до t_{2} = 27^{∘}C. На сколько уменьшилась масса воздуха в комнате? Атмосферное давление P_{0} = 10^{5}xПа постоянно. Молекулярная масса воздуха μ = 29xг/моль. Решение Пусть m_{1} масса воздуха, соответствующая начальной температуре T_{1} = 290xK, а m_{2} – конечной T_{2} = 300xK. Запишем уравнения состояния газа для начального и конечного состояний:

. P_{0}V = \frac{m_{1}}{μ}RT_{1}, P_{0}V = \frac{m_{2}}{μ}RT_{2}.

Искомая масса воздуха Δm = m_{1} − m_{2}. Выражая массы из первых двух уравнений и подставляя в третье, получим

. Δm = \frac{μP_{0}V}{R} (\frac{1}{T_{1}} − \frac{1}{T_{2}} ) .

Подставив числа, получим ответ Δm = 1,8xкг.

2.1.4 Пример – воздушный шар Во сколько раз изменится подъемная сила воздушного шара, если наполняющий его гелий заменить водородом? Весом оболочки шара пренебречь. Решение Пусть атмосферное давление P, температура T, объем воздушного шара V. Масса воздуха, содержащаяся при этих условиях в объеме V, определится из уравнения состояния

.  P V = \frac{m_{0}}{μ_{0}}RT, или m_{0} = \frac{μ_{0}P V}{RT} ,  где

μ_{0} – молекулярная масса воздуха. Обозначим через μ_{1} молекулярную массу водорода, а через μ_{2} – молекулярную массу гелия. Тогда массы водорода m_{1} и гелия m_{2}, содержащихся в объеме V, выразятся соотношениями

. m_{2} = \frac{μ_{2}P V}{RT} , m_{2} = \frac{μ_{2}P V}{RT}

Соответствующие подъемные силы определятся разницей веса воздуха и газа в объеме V:

. F_{1} = (m_{0} − m_{1})g, F_{2} = (m_{0} − m_{2})g.

Подставив в последние уравнения выражения масс, получим для отношения подъемных сил

. F_{1}/F_{2} = (μ_{0} − μ_{1})/(μ_{0} − mu_{2}).

Подставляя численные значения μ_{0} = 29xг/моль, μ_{1} = 2xг/моль, μ_{2} = 4xг/моль, получим

. F_{1}/F_{2} = 27/25.

2.2 Термодинамика

2.2.1 Пример – давление и энергия идеального газа Одноатомный идеальный газ изотермически расширяется из состояния с давлением P = 10^{5} Па от объема V_{1} = 1xм^{3} до объема V_{2} = 5xм^{3}. Какова внутренняя энергия и давление газа в конечном состоянии? Решение Внутренняя энергия идеального газа при изотермическом расширении не меняется. Поэтому ее можно найти из начального состояния. Для одноатомного газа

.  E = \frac{3}{2}NkT = \frac{3}{2}P V.  И

из данных задачи получаем

. E = \frac{3}{2}P_{1}V_{1} = \frac{3}{2} · 10^{5} · 1 = 1,5 · 10^{5} Дж .

При постоянной температуре P_{1}V_{1} = P_{2}V_{2}. Откуда конечное давление

. P_{2} = P_{1}V_{1}/V_{2} = 10^{5}/5 = 2 · 10^{4} Па .

2.2.2 Пример – работа, тепло и внутренняя энергия Газ в цилиндре получил тепло Q = 1000 Дж и, расширившись, совершил работу A = 300 Дж. На сколько изменилась при этом его внутренняя энергия? Решение Согласно первому закону термодинамики изменение внутренней энергии газа равно количеству тепла, полученного газом, минус работа, совершенная газом: ΔE = Q − ΔA. Откуда ΔE = 1000 − 300 = 700 Дж.

2.2.3 Пример – работа и КПД цикла Один моль одноатомного идеального газа участвует в циклическом процессе, график которого, состоящий из двух изохор и двух изобар, представлен на рисунке 2.1. Температуры в точках 1 и 3 равны T_{1} и T_{3}. Известно, что точки 2 и 4 лежат на одной изотерме. Определите работу, совершенную газом за цикл и КПД цикла.

PIC

Рис.x2.1:

Решение Обозначим через V_{1} минимальный объем, занимаемый газом (на изохоре 1,2), через V_{2} – максимальный (на изохоре 3,4). Соответственно, через P_{1} – минимальное (на изобаре 4,1), а через P_{2} – максимальное (на изобаре 2,3) давление. Пусть температура в точках 2 и 3 равна T_{2}. Работа газа за цикл определится как площадь на диаграмме:

. A = (P_{2} − P_{1})(V_{2} − V_{1}) = P_{2}V_{2} − P_{1}V_{2} − P_{2}V_{1} + P_{1}V_{1}.

(2.1)

Из уравнения состояния идеального газа для одного моля имеем:

. \begin{matrix}P_{2}V_{2} = RT_{3} & (2.2) \\ P_{1}V_{2} = RT_{2} & (2.3) \\ P_{2}V_{1} = RT_{2} & (2.4) \\ P_{1}V_{1} = RT_{1}. & (2.5) \end{matrix}

Подставляя (2.2) – (2.5) в (2.1), получим . A = R(T_{3} + T_{1} − 2T_{2}). Теперь необходимо найти T_{2}. Для этого разделим почленно (2.2) на (2.3), а (2.4) на (2.5): . P_{2}/P_{1} = T_{3}/T_{2}, P_{2}/P_{1} = T_{2}/T_{1}. Приравнивая правые части . T_{3}/T_{2} = T_{2}/T_{1}. Откуда . T_{2} = \sqrt{T_{1}T_{3}}. Работа газа определится через заданные температуры . A = R (T_{3} + T_{1} − 2\sqrt{T_{1}T_{3}}) = R (\sqrt{T_{3}} − \sqrt{T_{1}})^{2} .

Найдем теперь КПД цикла. Для этого надо найти тепло, переданное газу за цикл – Q. Газ получает от нагревателя тепло на участках 1,2 и 2,3. На остальных участках газ отдает тепло холодильнику. При изохорическом процессе тепло, полученное газом:

. Q_{1} = c_{V} ΔT.

Для одного моля одноатомного идеального газа c_{V} = 3R/2. Тогда

. Q_{l} = \frac{3}{2}R(T_{2} − T_{1}) = \frac{3}{2}R (\sqrt{T_{1}T_{3}} − T_{1}) = \frac{3}{2}R\sqrt{T_{1}} (\sqrt{T_{3}} − \sqrt{T_{1}}) .

При изобарическом расширении газ получает тепло

.  Q_{2} = c_{P} ΔT,  где

c_{P} = c_{V} + R = 3R/2 + R = 5R/2. То есть

. Q_{2} = \frac{5}{2}R(T_{3} − T_{2}) = \frac{5}{2}R (T_{3} − \sqrt{T_{1}T_{3}}) = \frac{5}{2}R\sqrt{T_{3}} (\sqrt{T_{3}} − \sqrt{T_{1}}) .

Полное количество тепла, полученного газом

. Q_{H} = Q_{1} + Q_{2} = \frac{1}{2}R (\sqrt{T_{3}} − \sqrt{T_{1}}) (5\sqrt{T_{3}} + 3\sqrt{T_{1}}) .

КПД цикла

. η = \frac{A}{Q_{H}} = \frac{R (\sqrt{T_{3}} − \sqrt{T_{1}})^{2}}{\frac{1}{2}R (\sqrt{T_{3}} − \sqrt{T_{1}}) (5\sqrt{T_{3}} + 3\sqrt{T_{1}})} = \frac{2 (\sqrt{T_{3}} − \sqrt{T_{1}})}{5\sqrt{T_{3}} + 3\sqrt{T_{1}}}.

Пусть T_{3} = 900 K, T_{1} = 400 K. Тогда . A = 8,31 (\sqrt{900} − \sqrt{400})^{2} = 8,31(30 − 20)^{2} = 831 Дж .

. Q_{H} = \frac{8,31}{2} (\sqrt{900} − \sqrt{400}) (5\sqrt{900} + 3\sqrt{400}) = 8,725 кДж .

. η = 831/8725 = 0,095 ≈ 10%.

Заметим, что КПД обратимой машины, работающей с нагревателем температуры T_{3} = 900 K, и холодильником с T_{1} = 400 K определится из формулы

. ηобр = (T_{3} − T_{1})/T_{3} = (900 − 400)/900 = 5/9 ≈ 0,56 = 56%.

2.2.4 Пример – динамическое отопление С помощью электрической плитки мощностью N = 1 кВт в комнате поддерживается температура воздуха t_{1} = 17^{∘}C при температуре наружного воздуха t_{2} = −23^{∘}C. Какая мощность потребовалась бы для поддержания в комнате той же температуры с помощью обратимой тепловой машины? Решение Для поддержания нужной температуры запустим тепловую машину по обратному циклу. Тогда наружный воздух будет играть роль нагревателя при T_{2} = 250 K, а воздух в комнате – роль холодильника при T_{1} = 290xK. Процесс пойдет таким образом: забрав тепло Q_{2} от наружного воздуха и затратив некоторую работу A (например, с помощью электродвигателя), передадим тепло Q_{1} внутрь комнаты. Пусть A, Q_{1} и Q_{2} относятся к единице времени (секунде). Тогда для поддержания той же температуры необходимо, чтобы переданное тепло Q_{1} равнялось теплу, поступающему в первом случае:

. Q_{1} = N.

КПД тепловой машины

. η = (Q_{1} − Q_{2})/Q_{1}.

Так как машина обратимая . η = (T_{1} − T_{2})/T_{1}. Приравнивая правые части последних выражений, получим

. Q_{2} = Q_{1} \frac{T_{2}}{T_{1}}.

Мощность, которую необходимо затратить . A = Q_{1} − Q_{2} = Q_{1}(1 − T_{2}/T_{1}). Подставляя Q_{1} = 10^{3} Вт и температуры, получим . A = 10^{3}(1 − 250/290) ≈ 10^{3} · 0,137 = 137 Вт. При таком способе отопления затрачивается значительно меньше энергии!

Вместо электрической мощности 1 кВт можно затрачивать для работы электродвигателя лишь 137 Вт. Такое отопление называется �динамическим�. Идею использования динамического отопления выдвинул лорд Кельвин.

2.3 Фазовые переходы. Поверхностное натяжение

2.3.1 Пример – нагревание и кипение воды В кастрюлю налили воду при температуре t_{0} = 10^{∘}C и поставили на плиту. Через τ = 10 минут вода закипела. Через какое время она полностью превратится в пар? Решение Обозначим через c удельную теплоемкость воды. Будем считать, что теплоемкость при росте температуры не меняется: c = 1 кал/(г·град) = 4,18 · 10^{3}xДж/(кг·град). Пренебрежем потерями тепла, считая, что за единицу времени при любой температуре воде передается одинаковая энергия w. Пусть масса воды m. Тогда за время τ вода получила энергию wτ, которая пошла на нагревание до температуры кипения t = 100^{∘} C:

. wτ = mc(t − t_{0}).

(2.1)

Для того, чтобы вода выкипела, она должна получить энергию mq, где q = 2,26 · 10^{6} Дж/кг – удельная теплота парообразования воды. Такое тепло вода получит за время τ_{1}: . wτ_{1} = mq. (2.2) Выразив массу из (2.1) и подставив в (2.2) получаем

. wτ_{1} = \frac{wτq}{c(t − t_{0})}.

Откуда

. τ_{1} = τ \frac{q}{c(t − t_{0}}.

Подставляя числа

. τ_{1} = τ \frac{2,26 · 10^{6}}{4,18 · 10^{3}(100 − 10)} = 6τ = 60 минут = 1 час.

Ответ: вода полностью выкипит через час после закипания.

2.3.2 Пример – �пограничное� кипение В стакан налиты две несмешивающихся жидкости: четыреххлористый углерод (CCl_{4}) и вода. При нормальном атмосферном давлении CCl_{4} кипит при 76,7^{∘}C, вода – при 100^{∘}C. При равномерном нагревании стакана со смесью в водяной бане кипение на границе раздела жидкостей начинается при температуре 65,5^{∘}С. Определите, какая из жидкостей быстрее (по массе) выкипает при таком �пограничном� кипении и во сколько раз. Давление насыщенного пара воды при 65,5^{∘}С составляет 25,6 кПа. Решение При пограничном кипении газовые пузырьки растут на границе раздела жидкостей. При этом сумма парциальных давлений CCl_{4} (P_{1}) и воды (P_{2} = 25,6 кПа) должна равняться атмосферному давлению (при нормальных условиях P_{0} = 1 атм = 100 кПа):

. P_{0} = P_{1} + P_{2}.

(2.1)

Масса m_{1} четыреххлористого углерода, находящегося в некотором пузырьке объема V, определится из уравнения Клапейрона-Менделеева:

. P_{1}V = \frac{m_{1}}{μ_{1}}RT.

(2.2)

Здесь μ_{1} = 154 г/моль – молекулярная масса CCl_{4}, T = 338,5 K – абсолютная температура, соответствующая 65,5^{∘}C. Аналогично для воды

. P_{2}V = \frac{m_{2}}{μ_{2}}RT,

(2.3)

где μ_{2} = 18 г/моль. Разделив почленно (2.2) на (2.3), имеем

. \frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{μ_{1}P_{1}}{μ_{2}P_{2}}.

(2.4)

Подставив в (2.4) давление P_{1}, выраженное из (2.1), получим

. \frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{μ_{1}(P − P_{2})}{μ_{2}P_{2}}.

Подставив числа, получим ответ

. \frac{m_{1}}{m_{2}} ≈ 25.

2.3.3 Пример – влажность воздуха При одинаковой температуре смешали (объединив объемы) V_{1} = 1 м^{3} воздуха влажностью φ_{1} = 20% и V_{2} = 2 м^{3} воздуха влажностью φ_{2} = 30%. Определите относительную влажность смеси. Решение Обозначим давление насыщенного пара при температуре T через P_{0}, парциальное давление водяного пара массы m_{1} в объеме V_{1} = 1 м^{3} – через P_{1}, а водяного пара массы m_{2} в объеме V_{2} = 2 м^{3} – через P_{2}.

По определению влажность (выраженная не в процентах) в первом объеме

. φ_{1} = P_{1}/P_{0},

(2.1)

а во втором

. φ_{2} = P_{2}/P_{0}.

(2.2)

Параметры водяного пара в каждом случае определятся из уравнения Клапейрона-Менделеева

. \begin{matrix}P_{1}V_{1} = \frac{m_{1}}{μ}RT, & (2.3) \\ P_{2}V_{2} = \frac{m_{2}}{μ}RT. & (2.4) \end{matrix}

После объединения объемов установится парциальное давление водяного пара P, определяемое из уравнения

. P (V_{1} + V_{2}) = \frac{m_{1} + m_{2}}{μ}RT.

(2.5)

Выразив из (2.1) и (2.2) P_{1} = φ_{1}P_{0} и P_{2} = φ_{2}P_{0}, а также m_{1} и m_{2} из (2.3) и (2.4) и подставив все в (2.5), получим

. P = P_{0} \frac{φ_{1}V_{1} + φ_{2}V_{2}}{V_{1} + V_{2}}.

Относительная влажность воздуха определится как

. φ = \frac{P}{P_{0}} = \frac{φ_{1}V_{1} + φ_{2}V_{2}}{V_{1} + V_{2}}.

Подставляя числа

. φ = \frac{0,2 · 1 + 0,3 · 2}{1 + 2} = \frac{0,8}{3} ≈ 0,27.

Так как относительная влажность воздуха выражается в процентах, ответ φ ≈ 27%.

2.3.4 Пример – капля ртути Какую работу против сил поверхностного натяжения нужно совершить, чтобы разделить сферическую каплю ртути радиуса r_{0} = 3 мм на две одинаковые капли? Коэффициент поверхностного натяжения ртути σ = 0,465 Н/м. Решение Работа против сил поверхностного натяжения определяется изменением полной поверхности

. A = σΔS.

(2.1)

Начальная поверхность S_{0} = 4πr_{0}^{2}. Обозначим радиус каждой из двух образовавшихся капель через r. Тогда полная поверхность двух капель S = 2 · 4πr^{2}. Так как ΔS = S − S_{0}, работа

. A = 4πσ(2r^{2} − r_{0}^{2}).

(2.2)

При разделении капли сохраняется полный объем ртути

. \frac{4}{3}πr_{0}^{3} = 2 · \frac{4}{3}πr^{3}.

(2.3)

Откуда находится радиус образовавшихся капель. Подставив r из (2.3) в (2.2), получим . A = 4πσr_{0}^{2} (2^{1/3} − 1) . Подставляя числа, получим ответ

. A = 4 · 3,14 · 0,465 · (3 · 10^{−3})^{2} (2^{1/3} − 1) ≈ 1,4 · 10^{−5} Дж .