Оглавление

2 Молекулярно-кинетическая теория
 2.1 Строение вещества. Уравнение состояния
  2.1.1 Пример – количество атомов
  2.1.2 Пример – химический состав
  2.1.3 Пример – воздух в комнате
  2.1.4 Пример – воздушный шар
 2.2 Термодинамика
  2.2.1 Пример – давление и энергия идеального газа
  2.2.2 Пример – работа, тепло и внутренняя энергия
  2.2.3 Пример – работа и КПД цикла
  2.2.4 Пример – динамическое отопление
 2.3 Фазовые переходы. Поверхностное натяжение
  2.3.1 Пример – нагревание и кипение воды
  2.3.2 Пример – пограничное кипение
  2.3.3 Пример – влажность воздуха
  2.3.4 Пример – капля ртути

Глава 2
Молекулярно-кинетическая теория

2.1 Строение вещества. Уравнение состояния

2.1.1 Пример – количество атомов

Плотность алюминия 2,7 103 кг/м3. Сколько атомов алюминия содержится в объеме 1 см3? Молекулярная масса алюминия 27 10-3 кг/моль.

Решение

Один моль (27 г) алюминия содержит 6 1023 атомов. В 1 см3 содержится 2,7 г, то есть в 10 раз меньше.

Ответ: 6 1022 атомов.

2.1.2 Пример – химический состав

Найдите формулу соединения азота с кислородом, если его масса m = 1 г в газообразном состоянии в объеме V = 1 л создает при температуре T = 17C давление P = 3,17 104 Па.

Решение

Давление определяется из уравнения состояния идеального газа

P V  =  m--RT  .
         μ
Определим молекулярную массу соединения
      mRT
μ  =  ------.
       P V
Подставим числа, выразив их в системе единиц СИ: m = 1 г = 10-3 кг, R = 8,31 Дж/(мольК), V = 1 л = 10-3 м3, P = 3,17 104 Па, T = 290 К. Отсюда
        - 3
μ =  10----⋅-8,31-⋅ 290 =  76 ⋅ 10- 3 кг/ мо ль =  76  г/м ол ь.
     3,17  ⋅ 104 ⋅ 10 - 3
Пусть в соединении содержится x атомов азота и y атомов кислорода. Молекулярная масса азота 14 г/моль, кислорода. 16 г/моль. Тогда должно выполняться равенство:
14x  +  16y  =  76.
Так как x и y - целые числа, легко найти, что x = 2,y = 3.

Ответ: соединение N2O3.

2.1.3 Пример – воздух в комнате

Температура воздуха в комнате объемом V = 45 м3 повысилась от t1 = 17C до t2 = 27C. На сколько уменьшилась масса воздуха в комнате? Атмосферное давление P0 = 105 Па постоянно. Молекулярная масса воздуха μ = 29 г/моль.

Решение

Пусть m1 масса воздуха, соответствующая начальной температуре T1 = 290 K, а m2 – конечной T2 = 300 K. Запишем уравнения состояния газа для начального и конечного состояний:

P  V  =  m1--RT  , P  V  =  m2--RT  .
  0       μ     1    0       μ     2
Искомая масса воздуха Δm = m1 - m2.

Выражая массы из первых двух уравнений и подставляя в третье, получим

        μP   V  ( 1     1  )
Δm   =  ----0--  --- -  ---  .
           R     T1     T2
Подставив числа, получим ответ Δm = 1,8 кг.

2.1.4 Пример – воздушный шар

Во сколько раз изменится подъемная сила воздушного шара, если наполняющий его гелий заменить водородом? Весом оболочки шара пренебречь.

Решение

Пусть атмосферное давление P, температура T, объем воздушного шара V . Масса воздуха, содержащаяся при этих условиях в объеме V , определится из уравнения состояния

        m0--                  μ0P-V--
P V  =  μ   RT , и ли m0   =   RT    ,
          0
где μ0 – молекулярная масса воздуха. Обозначим через μ1 молекулярную массу водорода, а через μ2 – молекулярную массу гелия. Тогда массы водорода m1 и гелия m2, содержащихся в объеме V , выразятся соотношениями
m   =   μ2P-V--, m   =  μ2P--V-
   2     RT        2     RT
Соответствующие подъемные силы определятся разницей веса воздуха и газа в объеме V :
F   =  (m   -  m  )g, F   =  (m   -  m  )g.
  1       0      1      2       0      2
Подставив в последние уравнения выражения масс, получим для отношения подъемных сил
F1∕F2  =  (μ0 -  μ1 )∕(μ0 -  mu2  ).
Подставляя численные значения μ0 = 29 г/моль, μ1 = 2 г/моль, μ2 = 4 г/моль, получим
F1 ∕F2 =  27 ∕25.

2.2 Термодинамика

2.2.1 Пример – давление и энергия идеального газа

Одноатомный идеальный газ изотермически расширяется из состояния с давлением P = 105 Па от объема V 1 = 1 м3 до объема V 2 = 5 м3. Какова внутренняя энергия и давление газа в конечном состоянии?

Решение

Внутренняя энергия идеального газа при изотермическом расширении не меняется. Поэтому ее можно найти из начального состояния. Для одноатомного газа

      3          3
E  =  --N kT  =  --P V.
      2          2
И из данных задачи получаем
E  =  3P  V  =   3-⋅ 105 ⋅ 1 = 1,5 ⋅ 105 Д ж.
      2  1  1    2
При постоянной температуре P1V 1 = P2V 2. Откуда конечное давление
                      5            4
P2  = P1V1  ∕V2  = 10  ∕5  = 2 ⋅ 10  П а.

2.2.2 Пример – работа, тепло и внутренняя энергия

Газ в цилиндре получил тепло Q = 1000 Дж и, расширившись, совершил работу A = 300 Дж. На сколько изменилась при этом его внутренняя энергия?

Решение

Согласно первому закону термодинамики изменение внутренней энергии газа равно количеству тепла, полученного газом, минус работа, совершенная газом: ΔE = Q - ΔA.

Откуда ΔE = 1000 - 300 = 700 Дж.

2.2.3 Пример – работа и КПД цикла

Один моль одноатомного идеального газа участвует в циклическом процессе, график которого, состоящий из двух изохор и двух изобар, представлен на рисунке 2.1. Температуры в точках 1 и 3 равны T1 и T3. Известно, что точки 2 и 4 лежат на одной изотерме. Определите работу, совершенную газом за цикл и КПД цикла.


PIC

Рис. 2.1:


Решение

Обозначим через V 1 минимальный объем, занимаемый газом (на изохоре 1,2), через V 2 – максимальный (на изохоре 3,4). Соответственно, через P1 минимальное (на изобаре 4,1), а через P2 – максимальное (на изобаре 2,3) давление. Пусть температура в точках 2 и 3 равна T2.

Работа газа за цикл определится как площадь на диаграмме:

A  =  (P2 -  P1 )(V2 -  V1) =  P2V2  -  P1V2  - P2V1  +  P1V1.
(2.1)

Из уравнения состояния идеального газа для одного моля имеем:

 P2V2  =  RT3                                  (2.2)

 P1V2  =  RT2                                  (2.3)

 P2V1  =  RT2                                  (2.4)

P1V1   = RT1.                                  (2.5)
Подставляя (2.2) – (2.5) в (2.1), получим
A =  R (T3 +  T1 -  2T2 ).
Теперь необходимо найти T2. Для этого разделим почленно (2.2) на (2.3), а (2.4) на (2.5):
P2 ∕P1  =  T3∕T2,  P2 ∕P1  =  T2∕T1.
Приравнивая правые части
T3 ∕T2 =  T2 ∕T1.
Откуда
       √ ------
T2  =    T1T3.
Работа газа определится через заданные температуры
        (              √ -----)       (√ ---   √ ---)2
A  =  R  T3  + T1  - 2   T1T3   =  R     T3 -    T1   .
Найдем теперь КПД цикла. Для этого надо найти тепло, переданное газу за цикл – Q. Газ получает от нагревателя тепло на участках 1,2 и 2,3. На остальных участках газ отдает тепло холодильнику.

При изохорическом процессе тепло, полученное газом:

Q1 =  cV ΔT  .
Для одного моля одноатомного идеального газа cV = 3R∕2. Тогда
      3                 3    (√ ------     )    3   √ ---(√  ---   √ --)
Ql =  --R (T2 -  T1 ) = --R     T1T3  -  T1  =  --R   T1     T3 -    T1  .
      2                 2                       2
При изобарическом расширении газ получает тепло
Q  =  c  ΔT  ,
  2     P
где cP = cV + R = 3R∕2 + R = 5R∕2. То есть
       5-                 5-  (      √ -----)    5-  √ ---(√  ---   √ ---)
Q2  =    R (T3 -  T2 ) =   R   T3 -    T1T3   =    R   T3     T3 -    T1  .
       2                  2                      2
Полное количество тепла, полученного газом
                     1-  (√ ---   √ ---) ( √ ---     √ ---)
QH  =  Q1  +  Q2  =   R     T3 -    T1    5  T3  + 3   T1  .
                     2
КПД цикла
                         (√  ---   √ ---)                (√ ---   √  --)
      A                R     T  -    T   2             2    T   -    T
η =  ---- =  ----(√--------√--3)-(--√-1------√----) =  --√----3----√--1--.
     QH      12 R     T3 -    T1   5   T3 +  3  T1       5   T3 +  3  T1
Пусть T3 = 900 K, T1 = 400 K. Тогда
          ( √ -----  √  ----)2                   2
A =  8,31     900  -    400    =  8,31 (30 -  20)  =  831  Д ж.
              (√ -----   √ ----) (  √ -----    √ ----)
Q    =  8,31-    900  -    400    5   900 +  3   400   =  8,725  кД ж.
  H       2
η =  831 ∕8725   =  0,095  ≈ 10%.
Заметим, что КПД обратимой машины, работающей с нагревателем температуры T3 = 900 K, и холодильником с T1 = 400 K определится из формулы
ηо бр =  (T3 -  T1 )∕T3 =  (900  -  400 )∕900  =  5∕9  ≈ 0,56  =  56%.

2.2.4 Пример – динамическое отопление

С помощью электрической плитки мощностью N = 1 кВт в комнате поддерживается температура воздуха t1 = 17C при температуре наружного воздуха t2 = -23C. Какая мощность потребовалась бы для поддержания в комнате той же температуры с помощью обратимой тепловой машины?

Решение

Для поддержания нужной температуры запустим тепловую машину по обратному циклу. Тогда наружный воздух будет играть роль нагревателя при T2 = 250 K, а воздух в комнате – роль холодильника при T1 = 290 K. Процесс пойдет таким образом: забрав тепло Q2 от наружного воздуха и затратив некоторую работу A (например, с помощью электродвигателя), передадим тепло Q1 внутрь комнаты. Пусть A, Q1 и Q2 относятся к единице времени (секунде). Тогда для поддержания той же температуры необходимо, чтобы переданное тепло Q1 равнялось теплу, поступающему в первом случае:

Q1  =  N.
КПД тепловой машины
η =  (Q1  - Q2 )∕Q1.
Так как машина обратимая
η  =  (T1 -  T2)∕T1.
Приравнивая правые части последних выражений, получим
Q   =  Q  T2-.
  2      1T1
Мощность, которую необходимо затратить
A =  Q1  -  Q2  =  Q1 (1 - T2 ∕T1 ).
Подставляя Q1 = 103 Вт и температуры, получим
A  =  103(1 -  250 ∕290  ) ≈ 103  ⋅ 0,137 =  137 В т.
При таком способе отопления затрачивается значительно меньше энергии! Вместо электрической мощности 1 кВт можно затрачивать для работы электродвигателя лишь 137 Вт. Такое отопление называется динамическим. Идею использования динамического отопления выдвинул лорд Кельвин.

2.3 Фазовые переходы. Поверхностное натяжение

2.3.1 Пример – нагревание и кипение воды

В кастрюлю налили воду при температуре t0 = 10C и поставили на плиту. Через τ = 10 минут вода закипела. Через какое время она полностью превратится в пар?

Решение

Обозначим через c удельную теплоемкость воды. Будем считать, что теплоемкость при росте температуры не меняется: c = 1 кал/(гград) = 4,18 103 Дж/(кгград).

Пренебрежем потерями тепла, считая, что за единицу времени при любой температуре воде передается одинаковая энергия w. Пусть масса воды m. Тогда за время τ вода получила энергию , которая пошла на нагревание до температуры кипения t = 100 C:

w τ =  mc (t -  t ).
                 0
(2.1)

Для того, чтобы вода выкипела, она должна получить энергию mq, где q = 2,26 106 Дж/кг – удельная теплота парообразования воды. Такое тепло вода получит за время τ1:

w τ1 = mq.
(2.2)

Выразив массу из (2.1) и подставив в (2.2) получаем

        ---w-τq---
w τ1 =            .
        c (t - t0)
Откуда
τ  =  τ ---q----.
 1      c(t - t0
Подставляя числа
                       6
τ  =  τ-------2,26-⋅ 10------- =  6τ  = 60  м ину т =  1 ча с.
 1     4,18  ⋅ 103 (100 - 10 )

Ответ: вода полностью выкипит через час после закипания.

2.3.2 Пример – пограничное кипение

В стакан налиты две несмешивающихся жидкости: четыреххлористый углерод (CCl4) и вода. При нормальном атмосферном давлении CCl4 кипит при 76,7C, вода – при 100C. При равномерном нагревании стакана со смесью в водяной бане кипение на границе раздела жидкостей начинается при температуре 65,5С. Определите, какая из жидкостей быстрее (по массе) выкипает при таком пограничном кипении и во сколько раз. Давление насыщенного пара воды при 65,5С составляет 25,6 кПа.

Решение

При пограничном кипении газовые пузырьки растут на границе раздела жидкостей. При этом сумма парциальных давлений CCl4 (P1) и воды (P2 = 25,6 кПа) должна равняться атмосферному давлению (при нормальных условиях P0 = 1 атм = 100 кПа):

P  =  P  +  P  .
 0      1     2
(2.1)

Масса m1 четыреххлористого углерода, находящегося в некотором пузырьке объема V , определится из уравнения Клапейрона-Менделеева:

         m1
P1V   =  ----RT .
         μ1
(2.2)

Здесь μ1 = 154 г/моль – молекулярная масса CCl4, T = 338,5 K – абсолютная температура, соответствующая 65,5C. Аналогично для воды

P  V  =  m2-RT  ,
  2      μ2
(2.3)

где μ2 = 18 г/моль.

Разделив почленно (2.2) на (2.3), имеем

m1     μ1P1
----=  ------.
m2     μ2P2
(2.4)

Подставив в (2.4) давление P1, выраженное из (2.1), получим

m1-- =  μ1(P-----P2-).
m2         μ2P2
Подставив числа, получим ответ
m1
---- ≈  25.
m2

2.3.3 Пример – влажность воздуха

При одинаковой температуре смешали (объединив объемы) V 1 = 1 м3 воздуха влажностью φ1 = 20% и V 2 = 2 м3 воздуха влажностью φ2 = 30%. Определите относительную влажность смеси.

Решение

Обозначим давление насыщенного пара при температуре T через P0, парциальное давление водяного пара массы m1 в объеме V 1 = 1 м3 – через P1, а водяного пара массы m2 в объеме V 2 = 2 м3 – через P2.

По определению влажность (выраженная не в процентах) в первом объеме

φ   =  P  ∕P  ,
  1      1   0
(2.1)

а во втором

φ2 =  P2 ∕P0.
(2.2)

Параметры водяного пара в каждом случае определятся из уравнения Клапейрона-Менделеева

P  V   =  m1RT  ,                               (2.3)
  1  1    μ
P2V2   =  m2RT  .                               (2.4)
          μ
После объединения объемов установится парциальное давление водяного пара P, определяемое из уравнения
                 m   + m
P (V1 +  V2 ) =  --1------2RT  .
                     μ
(2.5)

Выразив из (2.1) и (2.2) P1 = φ1P0 и P2 = φ2P0, а также m1 и m2 из (2.3) и (2.4) и подставив все в (2.5), получим

P  =  P  φ1V1--+-φ2V2--.
       0   V1  + V2
Относительная влажность воздуха определится как
φ =   P--=  φ1V1--+--φ2V2--.
      P0       V1 +  V2
Подставляя числа
φ  =  0,2-⋅ 1-+-0,3-⋅ 2-=  0,8-≈  0,27.
           1 +  2           3
Так как относительная влажность воздуха выражается в процентах, ответ φ 27%.

2.3.4 Пример – капля ртути

Какую работу против сил поверхностного натяжения нужно совершить, чтобы разделить сферическую каплю ртути радиуса r0 = 3 мм на две одинаковые капли? Коэффициент поверхностного натяжения ртути σ = 0,465 Н/м.

Решение

Работа против сил поверхностного натяжения определяется изменением полной поверхности

A  = σ ΔS.
(2.1)

Начальная поверхность S0 = 4πr02. Обозначим радиус каждой из двух образовавшихся капель через r. Тогда полная поверхность двух капель S = 2 4πr2. Так как ΔS = S - S0, работа

             2     2
A =  4π σ (2r  -  r0).
(2.2)

При разделении капли сохраняется полный объем ртути

4-πr3  = 2 ⋅ 4-πr3.
3    0       3
(2.3)

Откуда находится радиус образовавшихся капель. Подставив r из (2.3) в (2.2), получим

A  =  4π σr2 (21∕3 -  1) .
           0
Подставляя числа, получим ответ
                        (        )  (         )
A  =  4 ⋅ 3,14 ⋅ 0,465 ⋅ 3 ⋅ 10 - 3 2 21 ∕3 - 1 ≈  1,4 ⋅ 10 - 5 Д ж.