\setcounter{chapter}{1}

\large
\tableofcontents

\chapter{Молекулярно-кинетическая теория}

\section{Строение вещества. Уравнение состояния}

\subsection{Пример -- количество атомов}
Плотность алюминия $2{,}7\cdot 10^3$~кг/м$^3$. Сколько атомов алюминия
содержится в объеме~1 см$^3$? Молекулярная масса алюминия $27\cdot
10^{-3}$~кг/моль.

{\bf Решение}

Один моль (27 г) алюминия содержит $6\cdot 10^{23}$ атомов. В 1~см$^3$
содержится 2,7~г, то есть в 10 раз меньше.

\noindent{\bf Ответ:} $6\cdot 10^{22}$ атомов.

\subsection{Пример -- химический состав}
Найдите формулу соединения азота с кислородом, если его масса $m=1$~г в
газообразном состоянии в объеме $V=1$ л создает при температуре $T=17^{\circ}$C
давление $P=3{,}17\cdot 10^4$~Па.

{\bf Решение}

Давление определяется из уравнения состояния идеального газа
$$
 PV=\frac{m}{\mu}RT.
$$
Определим молекулярную массу соединения
$$
 \mu=\frac{mRT}{PV}.
 $$
Подставим числа, выразив их в  системе единиц СИ: $m=1$~г $=10^{-3}$~кг,
$R=8{,}31$~Дж/(моль$\cdot$К), $V=1$~л $=10^{-3}$~м$^3$, $P=3{,}17\cdot
10^4$~Па, $T=290$~К. Отсюда
$$
 \mu=\frac{10^{-3}\cdot 8{,}31\cdot 290}{3{,}17\cdot 10^4\cdot 10^{-3}}=76\cdot
 10^{-3}\;\mbox{кг/моль}=76\;\mbox{г/моль}.
$$
Пусть в соединении содержится $x$ атомов азота и $y$ атомов кислорода.
Молекулярная масса азота 14~г/моль, кислорода. 16~г/моль. Тогда должно
выполняться равенство:
$$
 14x +16y=76.
$$
Так как $x$ и $y$ - целые числа, легко найти, что $x=2, y=3$.

\noindent{\bf Ответ:} соединение ${\rm N}_2{\rm O}_3$.

\subsection{Пример -- воздух в комнате}
Температура воздуха в комнате объемом $V=45$~м$^3$ повысилась от
$t_1=17^{\circ}$C до $t_2=27^{\circ}$C. На сколько уменьшилась масса воздуха в
комнате? Атмосферное давление $P_0=10^5$~Па постоянно. Молекулярная масса
воздуха $\mu=29$~г/моль.

{\bf Решение}

Пусть $m_1$ масса воздуха, соответствующая начальной температуре $T_1=290$~K, а
$m_2$ -- конечной $T_2=300$~K. Запишем уравнения состояния газа для начального
и конечного состояний:
$$
  P_0V=\frac{m_1}{\mu}RT_1,\; P_0V=\frac{m_2}{\mu}RT_2.
$$
Искомая масса воздуха $\Delta m=m_1-m_2$.

Выражая массы из первых двух уравнений и подставляя в третье, получим
$$
 \Delta m=\frac{\mu P_0V}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right).
$$
Подставив числа, получим ответ $\Delta m=1{,}8$~кг.

\subsection{Пример -- воздушный шар}
Во сколько раз изменится подъемная сила воздушного шара, если
наполняющий его гелий заменить водородом? Весом оболочки шара пренебречь.

{\bf Решение}

Пусть атмосферное давление $P$, температура $T$, объем воздушного шара $V$.
Масса воздуха, содержащаяся при этих условиях в объеме $V$, определится из
уравнения состояния
$$
  PV=\frac{m_0}{\mu_0}RT,\;\mbox{или}\; m_0=\frac{\mu_0PV}{RT},
$$
где $\mu_0$ -- молекулярная масса воздуха. Обозначим через $\mu_1$
молекулярную массу водорода, а через $\mu_2$ -- молекулярную массу гелия.
Тогда массы водорода $m_1$ и гелия $m_2$, содержащихся в объеме $V$,
выразятся соотношениями
$$
  m_2=\frac{\mu_2PV}{RT},\;  m_2=\frac{\mu_2PV}{RT}
$$
Соответствующие подъемные силы определятся разницей веса воздуха и газа в
объеме $V$:
$$
  F_1=(m_0-m_1)g,\; F_2=(m_0-m_2)g.
$$
Подставив в последние уравнения выражения масс, получим для отношения
подъемных сил
$$
 F_1/F_2=(\mu_0-\mu_1)/(\mu_0-mu_2).
$$
Подставляя численные значения $\mu_0=29$~г/моль, $\mu_1=2$~г/моль,
$\mu_2=4$~г/моль, получим
$$
  F_1/F_2=27/25.
$$


\section{Термодинамика}

\subsection{Пример -- давление и энергия идеального газа}
Одноатомный идеальный газ изотермически расширяется из состояния с давлением
$P=10^5$ Па от объема $V_1=1$~м$^3$ до объема $V_2=5$~м$^3$. Какова внутренняя
энергия и давление газа в конечном состоянии?

{\bf Решение}

Внутренняя энергия идеального газа при изотермическом расширении не меняется.
Поэтому ее можно найти из начального состояния. Для одноатомного газа
$$
  E=\frac{3}{2}NkT=\frac{3}{2}PV.
$$
И из данных задачи получаем
$$
  E=\frac{3}{2}P_1V_1=\frac{3}{2}\cdot 10^5\cdot 1=1{,}5\cdot 10^5\;\mbox{Дж}.
$$
При постоянной температуре $P_1V_1=P_2V_2$. Откуда конечное давление
$$
  P_2=P_1V_1/V_2=10^5/5 = 2\cdot 10^4\;\mbox{Па}.
$$

\subsection{Пример -- работа, тепло и внутренняя энергия}
Газ в цилиндре получил тепло $Q=1000$ Дж и, расширившись, совершил работу
$A=300$ Дж. На сколько изменилась при этом его внутренняя энергия?

{\bf Решение}

Согласно первому закону термодинамики изменение внутренней энергии газа равно
количеству тепла, полученного газом, минус работа, совершенная газом: $\Delta
E=Q-\Delta A$.

Откуда $\Delta E = 1000-300=700$ Дж.

\subsection{Пример -- работа и КПД цикла}
Один моль одноатомного идеального газа участвует в циклическом процессе, график
которого, состоящий из двух изохор и двух изобар, представлен на рисунке
\ref{f:1}. Температуры в точках 1 и 3 равны $T_1$ и $T_3$. Известно, что точки
2 и 4 лежат на одной изотерме. Определите работу, совершенную газом за цикл и
КПД цикла.

\ephyspicture{1}{2in}{f:1}

{\bf Решение}

Обозначим через $V_1$ минимальный объем, занимаемый газом (на изохоре 1,2),
через $V_2$ -- максимальный (на изохоре 3,4). Соответственно, через $P_1$ --
минимальное (на изобаре 4,1), а через $P_2$ -- максимальное (на изобаре 2,3)
давление. Пусть температура в точках 2 и 3 равна $T_2$.

Работа газа за цикл определится как площадь на диаграмме:
\begin{equation}
  A=(P_2-P_1)(V_2-V_1)=P_2V_2-P_1V_2-P_2V_1+P_1V_1.
  \label{eq:2-1}
\end{equation}
Из уравнения состояния идеального газа для одного моля имеем:
\begin{eqnarray}
    & P_2V_2=RT_3 & \label{eq:2-2}\\
    & P_1V_2=RT_2 & \label{eq:2-3}\\
    & P_2V_1=RT_2 & \label{eq:2-4}\\
    & P_1V_1=RT_1. & \label{eq:2-5}
\end{eqnarray}
Подставляя (\ref{eq:2-2}) -- (\ref{eq:2-5}) в (\ref{eq:2-1}), получим
$$
 A=R(T_3+T_1-2T_2).
$$
Теперь необходимо найти $T_2$. Для этого разделим почленно (\ref{eq:2-2})
на (\ref{eq:2-3}), а (\ref{eq:2-4}) на (\ref{eq:2-5}):
$$
   P_2/P_1=T_3/T_2,\;P_2/P_1=T_2/T_1.
$$
Приравнивая правые части
$$
  T_3/T_2=T_2/T_1.
$$
Откуда
$$
 T_2=\sqrt{T_1T_3}.
$$
Работа газа определится через заданные температуры
$$
  A=R\left(T_3+T_1-2\sqrt{T_1T_3}\right)=R\left(\sqrt{T_3}-\sqrt{T_1}\right)^2.
$$
Найдем теперь КПД цикла. Для этого надо найти тепло, переданное газу за
цикл -- Q. Газ получает от нагревателя тепло на участках 1,2 и 2,3. На
остальных участках газ отдает тепло холодильнику.

При изохорическом процессе тепло, полученное газом:
$$
  Q_1 = c_V\Delta T.
$$
Для одного моля одноатомного идеального газа $c_V=3R/2$. Тогда
$$
  Q_l=\frac{3}{2}R(T_2-T_1)=\frac{3}{2}R\left(\sqrt{T_1T_3}-T_1\right)=
  \frac{3}{2}R\sqrt{T_1}\left(\sqrt{T_3}-\sqrt{T_1}\right).
$$
При изобарическом расширении газ получает тепло
$$
  Q_2=c_P\Delta T,
$$
где $c_P=c_V+R=3R/2+R=5R/2$. То есть
$$
  Q_2=\frac{5}{2}R(T_3-T_2)=\frac{5}{2}R\left(T_3-\sqrt{T_1T_3}\right)=
  \frac{5}{2}R\sqrt{T_3}\left(\sqrt{T_3}-\sqrt{T_1}\right).
$$
Полное количество тепла, полученного газом
$$
 Q_H=Q_1+Q_2=\frac{1}{2}R\left(\sqrt{T_3}-\sqrt{T_1}\right)\left(5\sqrt{T_3}+
 3\sqrt{T_1}\right).
$$
КПД цикла
$$
  \eta=\frac{A}{Q_H}=\frac{R\left(\sqrt{T_3}-\sqrt{T_1}\right)^2}{\frac{1}{2}R
  \left(\sqrt{T_3}-\sqrt{T_1}\right)\left(5\sqrt{T_3}+3\sqrt{T_1}\right)}=
  \frac{2\left(\sqrt{T_3}-\sqrt{T_1}\right)}{5\sqrt{T_3}+3\sqrt{T_1}}.
$$
Пусть $T_3=900$ K, $T_1=400$ K. Тогда
$$
  A=8{,}31\left(\sqrt{900}-\sqrt{400}\right)^2=8{,}31(30-20)^2=831\;\mbox{Дж}.
$$
$$
  Q_H=\frac{8{,}31}{2}\left(\sqrt{900}-\sqrt{400}\right)\left(5\sqrt{900}+3\sqrt{400}\right)=
  8{,}725\;\mbox{кДж}.
$$
$$
  \eta=831/8725=0{,}095\approx 10\%.
$$
Заметим, что КПД обратимой машины, работающей с нагревателем температуры
$T_3=900$ K, и холодильником с $T_1=400$ K определится из формулы
$$
 \eta_{\mbox{обр}}=(T_3-T_1)/T_3=(900-400)/900=5/9\approx 0{,}56=56\%.
$$

\subsection{Пример -- динамическое отопление}
С помощью электрической плитки мощностью $N=1$ кВт в комнате
поддерживается температура воздуха $t_1=17^{\circ}$C при температуре
наружного воздуха $t_2=-23^{\circ}$C. Какая мощность потребовалась бы для
поддержания в комнате той же температуры с помощью обратимой тепловой
машины?

{\bf Решение}

Для поддержания нужной температуры запустим тепловую машину по обратному циклу.
Тогда наружный воздух будет играть роль нагревателя при $T_2=250$ K, а воздух в
комнате -- роль холодильника при $T_1=290$~K. Процесс пойдет таким образом:
забрав тепло $Q_2$ от наружного воздуха и затратив некоторую работу $A$
(например, с помощью электродвигателя), передадим тепло $Q_1$ внутрь комнаты.
Пусть $A$, $Q_1$ и $Q_2$ относятся к единице времени (секунде). Тогда для
поддержания той же температуры необходимо, чтобы переданное тепло $Q_1$
равнялось теплу, поступающему в первом случае:
$$
  Q_1 = N.
$$
КПД тепловой машины
$$
  \eta=(Q_1-Q_2)/Q_1.
$$
Так как машина обратимая
$$
  \eta=(T_1-T_2)/T_1.
$$
Приравнивая правые части последних выражений, получим
$$
  Q_2=Q_1\frac{T_2}{T_1}.
$$
Мощность, которую необходимо затратить
$$
  A=Q_1-Q_2=Q_1(1-T_2/T_1).
$$
Подставляя $Q_1=10^3$ Вт и температуры, получим
$$
  A=10^3(1-250/290)\approx 10^3\cdot 0{,}137=137\;\mbox{Вт}.
$$
При таком способе отопления затрачивается значительно меньше энергии!
Вместо электрической мощности 1 кВт можно затрачивать для работы
электродвигателя лишь 137 Вт. Такое отопление называется <<динамическим>>.
Идею использования динамического отопления выдвинул лорд Кельвин.

\section{Фазовые переходы. Поверхностное натяжение}

\setcounter{equation}{0}

\subsection{Пример -- нагревание и кипение воды}
В кастрюлю налили воду при температуре $t_0=10^{\circ}$C и поставили на
плиту. Через $\tau=10$ минут вода закипела. Через какое время она
полностью превратится в пар?

{\bf Решение}

Обозначим через $c$ удельную теплоемкость воды. Будем считать, что теплоемкость
при росте температуры не меняется: $c=1$ кал/(г$\cdot$град) $=4{,}18\cdot
10^3$~Дж/(кг$\cdot$град).

Пренебрежем потерями тепла, считая, что за единицу времени при любой
температуре воде передается одинаковая энергия $w$. Пусть масса воды $m$.
Тогда за время $\tau$ вода получила энергию $w\tau$, которая пошла на
нагревание до температуры кипения $t=100^{\circ}$ C:
\begin{equation}
  w\tau=mc(t-t_0).\label{eq:3-1}
\end{equation}
Для того, чтобы вода выкипела, она должна получить энергию $mq$, где
$q=2{,}26\cdot 10^6$ Дж/кг -- удельная теплота парообразования воды. Такое
тепло вода получит за время $\tau_1$:
\begin{equation}
    w\tau_1=mq.\label{eq:3-2}
\end{equation}
Выразив массу из (\ref{eq:3-1}) и подставив в (\ref{eq:3-2}) получаем
$$
  w\tau_1=\frac{w\tau q}{c(t-t_0)}.
$$
Откуда
$$
  \tau_1=\tau\frac{q}{c(t-t_0}.
$$
Подставляя числа
$$
  \tau_1=\tau\frac{2{,}26\cdot 10^6}{4{,}18\cdot 10^3(100-10)}=6\tau=
  60\;\mbox{минут}=1\;\mbox{час}.
$$

\noindent{\bf Ответ:} вода полностью выкипит через час после закипания.

\setcounter{equation}{0}

\subsection{Пример -- <<пограничное>> кипение}
В стакан налиты две несмешивающихся жидкости: четыреххлористый углерод
(CCl$_4$) и вода. При нормальном атмосферном давлении CCl$_4$ кипит при
$76{,}7^{\circ}$C, вода -- при $100^{\circ}$C. При равномерном нагревании
стакана со смесью в водяной бане кипение на границе раздела жидкостей
начинается при температуре $65{,}5^{\circ}$С. Определите, какая из
жидкостей быстрее (по массе) выкипает при таком <<пограничном>> кипении и
во сколько раз. Давление насыщенного пара воды при $65{,}5^{\circ}$С
составляет $25{,}6$ кПа.

{\bf Решение}

При пограничном кипении газовые пузырьки растут на границе раздела жидкостей.
При этом сумма парциальных давлений CCl$_4$ ($P_1$) и воды ($P_2=25{,}6$ кПа)
должна равняться атмосферному давлению (при нормальных условиях
$P_0=1\;\mbox{атм}=100$ кПа):
\begin{equation}
  P_0=P_1+P_2.\label{eq:3-3}
\end{equation}
Масса $m_1$ четыреххлористого углерода, находящегося в некотором пузырьке
объема $V$, определится из уравнения Клапейрона-Менделеева:
\begin{equation}
  P_1V=\frac{m_1}{\mu_1}RT.\label{eq:3-4}
\end{equation}
Здесь $\mu_1=154$ г/моль -- молекулярная масса CCl$_4$, $T=338{,}5$ K --
абсолютная температура, соответствующая $65{,}5^{\circ}$C. Аналогично для
воды
\begin{equation}
  P_2V=\frac{m_2}{\mu_2}RT,\label{eq:3-5}
\end{equation}
где $\mu_2=18$ г/моль.

Разделив почленно (\ref{eq:3-4}) на (\ref{eq:3-5}), имеем
\begin{equation}
  \frac{m_1}{m_2}=\frac{\mu_1P_1}{\mu_2P_2}.\label{eq:3-6}
\end{equation}
Подставив в (\ref{eq:3-6}) давление $P_1$, выраженное из (\ref{eq:3-3}),
получим
$$
  \frac{m_1}{m_2}=\frac{\mu_1(P-P_2)}{\mu_2P_2}.
$$
Подставив числа, получим ответ
$$
  \frac{m_1}{m_2}\approx 25.
$$

\setcounter{equation}{0}

\subsection{Пример -- влажность воздуха}
При одинаковой температуре смешали (объединив объемы) $V_1=1$ м$^3$
воздуха влажностью $\varphi_1=20\%$ и $V_2=2$ м$^3$ воздуха влажностью
$\varphi_2=30\%$. Определите относительную влажность смеси.

{\bf Решение}

Обозначим давление насыщенного пара при температуре $T$ через $P_0$,
парциальное давление водяного пара массы $m_1$ в объеме $V_1=1$ м$^3$ -- через
$P_1$, а водяного пара массы $m_2$ в объеме $V_2=2$ м$^3$ -- через $P_2$.

По определению влажность (выраженная не в процентах) в первом объеме
\begin{equation}
  \varphi_1=P_1/P_0,\label{eq:3-7}
\end{equation}
а во втором
\begin{equation}
  \varphi_2=P_2/P_0.\label{eq:3-8}
\end{equation}
Параметры водяного пара в каждом случае определятся из уравнения
Клапейрона-Менделеева
\begin{eqnarray}
  & P_1V_1=\frac{m_1}{\mu}RT, & \label{eq:3-9}\\
  & P_2V_2=\frac{m_2}{\mu}RT. & \label{eq:3-10}
\end{eqnarray}
После объединения объемов установится парциальное давление водяного пара
$P$, определяемое из уравнения
\begin{equation}
  P(V_1+V_2)=\frac{m_1+m_2}{\mu}RT.\label{eq:3-11}
\end{equation}
Выразив из (\ref{eq:3-7}) и (\ref{eq:3-8}) $P_1=\varphi_1P_0$ и
$P_2=\varphi_2P_0$, а также $m_1$ и $m_2$ из (\ref{eq:3-9}) и
(\ref{eq:3-10}) и подставив все в (\ref{eq:3-11}), получим
$$
  P=P_0\frac{\varphi_1V_1+\varphi_2V_2}{V_1+V_2}.
$$
Относительная влажность воздуха определится как
$$
  \varphi=\frac{P}{P_0}=\frac{\varphi_1V_1+\varphi_2V_2}{V_1+V_2}.
$$
Подставляя числа
$$
  \varphi=\frac{0{,}2\cdot 1+0{,}3\cdot 2}{1+2}=\frac{0{,}8}{3}\approx 0{,}27.
$$
Так как относительная влажность воздуха выражается в процентах, ответ
$\varphi\approx 27\%$.

\setcounter{equation}{0}

\subsection{Пример -- капля ртути}
Какую работу против сил поверхностного натяжения нужно совершить, чтобы
разделить сферическую каплю ртути радиуса $r_0=3$ мм на две одинаковые
капли? Коэффициент поверхностного натяжения ртути $\sigma=0{,}465$ Н/м.

{\bf Решение}

Работа против сил поверхностного натяжения определяется изменением полной
поверхности
\begin{equation}
  A=\sigma\Delta S.\label{eq:3-12}
\end{equation}
Начальная поверхность $S_0=4\pi r_0^2$. Обозначим радиус каждой из двух
образовавшихся капель через $r$. Тогда полная поверхность двух капель
$S=2\cdot 4\pi r^2$. Так как $\Delta S=S-S_0$, работа
\begin{equation}
  A = 4\pi\sigma(2r^2-r_0^2).\label{eq:3-13}
\end{equation}
При разделении капли сохраняется полный объем ртути
\begin{equation}
  \frac{4}{3}\pi r_0^3=2\cdot\frac{4}{3}\pi r^3.\label{eq:3-14}
\end{equation}
Откуда находится радиус образовавшихся капель. Подставив $r$ из
(\ref{eq:3-14}) в (\ref{eq:3-13}), получим
$$
    A=4\pi\sigma r_0^2\left(2^{1/3}-1\right).
$$
Подставляя числа, получим ответ
$$
  A=4\cdot 3{,}14\cdot 0{,}465\cdot\left(3\cdot 10^{-3}\right)^2\left(2^{1/3}-1\right)
  \approx 1{,}4\cdot 10^{-5}\;\mbox{Дж}.
$$

\end{document}
