xx

Оглавление 4 Волны, оптика, строение вещества x4.1 Переменный ток xx4.1.1 Пример – амплитудное и действующее значение тока xx4.1.2 Пример – две электроплитки xx4.1.3 Пример – резонанс в контуре xx4.1.4 Пример – токи при разрядке конденсатора x4.2 Геометрическая оптика xx4.2.1 Пример – фонарь и тени xx4.2.2 Пример – преломление луча xx4.2.3 Пример – фокусное расстояние системы линз xx4.2.4 Пример – увеличенное изображение x4.3 Волновая оптика xx4.3.1 Пример – скорость света в стекле xx4.3.2 Пример – интерференция двух источников xx4.3.3 Пример – дифракционная решетка x4.4 Специальная теория относительности xx4.4.1 Пример – время жизни движущейся частицы xx4.4.2 Пример – полная энергия движущейся частицы x4.5 Квантовая физика xx4.5.1 Пример – энергия кванта излучения xx4.5.2 Пример – красная граница фотоэффекта Главаx4Волны, оптика, строение вещества

4.1 Переменный ток

4.1.1 Пример – амплитудное и действующее значение тока Найдите амплитудное и действующее значение тока, протекающего через электрическую лампочку мощности N = 100 Вт, включенную в сеть с напряжением U = 220 В. Решение Напряжение 220 В – действующее. Мощность N = UдIд. Откуда

. Iд = N/U = 0,45 А .

Амплитудное значение тока

. I_{A} = \sqrt{2}Iд = 0,64 А .

4.1.2 Пример – две электроплитки Две одинаковые электрических плитки мощности N = 1 кВт включаются в электрическую сеть а) параллельно; б) последовательно. Найдите суммарную мощность плиток в первом и во втором случаях. Решение Сопротивления плиток R одинаковы. Обозначим напряжение сети через U. Тогда из условия N = U^{2}/R. И R = U^{2}/N. При параллельном соединении плиток полное сопротивление R_{1} = R/2. И

. N_{1} = U^{2}/R_{1} = 2U^{2}/R = 2N = 2 кВт.

При последовательном соединении R_{2} = 2R. И

. N_{2} = U^{2}/2R = N/2 = 0,5 кВт.

4.1.3 Пример – резонанс в контуре Резонанс наблюдается в колебательном контуре при частоте ν = 400 Гц. Емкость конденсатора в контуре C = 1 мкФ . Какую емкость нужно подсоединить параллельно данной, чтобы частота резонанса уменьшилась до 100 Гц? Решение Резонансная частота определяется формулой:

. 2πν = \frac{1}{\sqrt{LC}} .

При изменении емкости:

. 2πν_{1} = \frac{1}{\sqrt{LC_{1}}}.

Тогда отношение частот: . ν/ν_{1} = \sqrt{C_{1}/C}. Отсюда . C_{1} = C (ν/ν_{1})^{2} . При параллельном соединении конденсаторов C_{1} = C + C′, где C′ – искомая емкость. Отсюда . C′ = C (ν/ν_{1})^{2} − C. Ответ C′ = 15C = 15 мкФ . 4.1.4 Пример – токи при разрядке конденсатора

PIC

Рис.x4.1:

Конденсатор емкости C заряжен зарядом q_{0}. Параллельно подсоединены две катушки индуктивности L_{1} и L_{2} (см. рис.x4.1). Ключ K замыкают. Найдите максимальные значения силы токов через катушки. Решение По закону Кирхгофа падение напряжения на катушках одинаково:

. L_{1} \frac{ΔI_{1}}{Δt} = L_{2} \frac{ΔI_{2}}{Δt}.

Так как начальные значения токов в катушках равны нулю, можно считать, что

. L_{1}I_{1} = L_{2}I_{2}.

(4.1)

Тогда ясно, что максимальное значение силы токов в катушках достигается одновременно. Запишем закон сохранения энергии (при максимальном значении силы тока конденсатор не заряжен):

. \frac{q_{0}^{2}}{2C} = \frac{L_{1}I_{1}^{2}}{2} + \frac{I_{2}^{2}}{2}.

(4.2) Выражая из (4.1) I_{2} и подставляя в (4.2), получим:

. I_{1} = q_{0}\sqrt{\frac{L_{2}}{CL_{1} (L_{1} + L_{2})}}.

Соответственно

. I_{2} = q_{0}\sqrt{\frac{L_{1}}{CL_{2} (L_{1} + L_{2})}}.

Полный ток в цепи:

. I = I_{1} + I_{2} = q_{0}\sqrt{\frac{L_{1} + L_{2}}{CL_{1}L_{2}}}.

Откуда ясно, что параллельно соединенные индуктивности подчиняются закону для параллельно соединенных резисторов:

. 1/L = 1/L_{1} + 1/L_{2}.

4.2 Геометрическая оптика

4.2.1 Пример – фонарь и тени

PIC

Рис.x4.2:

На какой высоте H висит уличный фонарь, если тень от вертикально стоящей палки высотой h = 1 м имеет длину l = 1,5 м, а если палку поставить в конец тени, то новая длина тени L = 2,5 м? Решение Пусть x – начальное расстояние от подножья фонаря до палки. Тогда из рисункаx4.2, сравнивая подобные треугольники, имеем:

. H/h = (l + x)/l.

При перемещении палки на расстояние l, аналогично получим:

. H/h = (l + x + L)/L.

Выражая из первого уравнения x и подставляя во второе, получим:

. H = Lh/(L − h).

Подставляя числа, получим ответ: H = 2,5 м.

4.2.2 Пример – преломление луча

PIC

Рис.x4.3:

Под каким углом должен падать световой луч на стекло, чтобы угол между отраженным и преломленным лучами был прямым? Показатель преломления стекла n. Решение Из рисунка следует α + β + π/2 = π. И sin α/ sin β = n. Тогда из первого уравнения имеем:

. sin β = sin(π/2 − α) = cos α.

Или tgα = n. Ответ α = arctgn.

4.2.3 Пример – фокусное расстояние системы линз Две тонкие линзы с фокусными расстояниями F_{1} и F_{2} стоят вплотную друг к другу. Найдите фокусное расстояние такой системы. Решение �Забудем� пока о второй линзе. Пусть расстояние от источника до первой линзы a_{1}. Тогда изображение, даваемое первой, линзой окажется на расстоянии

.  b_{1} = \frac{a_{1}F_{1}}{a_{1} − F_{1}}  от

нее.

Источник света для второй линзы будет находиться на расстоянии . a_{2} = −b_{1}. Тогда расстояние b_{2}, на котором окажется изображение, даваемое системой, определится из уравнения второй линзы:

. \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{b_{2}} = \frac{1}{F_{2}}.

Откуда получаем

. \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{b_{2}} = \frac{1}{F_{1}} + \frac{1}{F_{2}}.

Иными словами, оптические силы вплотную сложенных тонких линз складываются:

. \frac{1}{F} = \frac{1}{F_{1}} + \frac{1}{F_{2}}.

Эту задачу можно решить проще. Поместим точечный источник в фокус первой линзы. Тогда после преломления в ней лучи станут параллельными. После преломления во второй линзе они пересекутся ее фокусе. То есть

. \frac{1}{F} = \frac{1}{F_{1}} + \frac{1}{F_{2}}.

4.2.4 Пример – увеличенное изображение Расстояние от предмета до экрана L = 1,8 м. Линзу с каким фокусным расстоянием надо взять и где следует ее поставить, чтобы получить изображение предмета, увеличенное в два раза? Решение Запишем формулу линзы:

.  \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F} .  По

условию a + b = L и b/a = F/(a − F) = 2. Решая систему уравнений, получим ответ: F = 0,4 м, a = 0,6 м.

4.3 Волновая оптика

4.3.1 Пример – скорость света в стекле Длина волны света в стекле λ = 0,48 мм при частоте ν = 4 · 10^{14} Гц. Чему равна скорость света в стекле? Решение Скорость света определится из формулы v = νλ. Подставляя числа, получаем v = 1,92 · 10^{8} м/с.

4.3.2 Пример – интерференция двух источников Два когерентных источника света S_{1} и S_{2} освещают экран, плоскость которого параллельна S_{1}S_{2}. Чему равна длина волны света, если расстояние между двумя соседними максимумами освещенности на экране Δx равно 1,2 мм ? Расстояние до экрана L = 4,8 м, а между источниками света d = 2 мм . Решение Расстояние между соседними максимумами определится по формуле . Δx = λL/d.

Отсюда λ = Δx · d/L. Подставляя числа, получим ответ λ = 500 нм.

4.3.3 Пример – дифракционная решетка Дифракционная решетка имеет 250 штрихов на 1 мм. На решетку падает монохроматический свет с длиной волны 500 нм. Под каким углом виден первый максимум? Решение Для первого максимума имеем sin φ = λ/d. Подставляя числа, получим sin φ = 0,125. Откуда φ = 7,2^{∘}.

4.4 Специальная теория относительности

4.4.1 Пример – время жизни движущейся частицы В состоянии покоя частица живет время τ_{0} = 10^{−6} с. Какое расстояние она пролетит до распада при скорости v = 2,5 · 10^{8} м/с? Решение. В лабораторной системе отсчета время

.  τ = \frac{τ_{0}}{\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}}.  В

этой системе длина пробега

. l = vτ = \frac{vτ_{0}}{\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}}.

Подставляя числа, получим ответ l = 455 м.

4.4.2 Пример – полная энергия движущейся частицы При какой скорости частицы ее полная энергия вдвое превосходит энергию покоя? Решение По условию

. E = \frac{mc^{2}}{\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}} = 2mc^{2}.

Отсюда

. \sqrt{1 − v^{2}/c^{2}} = \frac{1}{2}.

Ответ: v = 0,86c = 2,6 · 10^{5} км/с.

4.5 Квантовая физика

4.5.1 Пример – энергия кванта излучения Определите энергию кванта излучения с длиной волны λ = 5 · 10^{−7} м. Решение По формуле Планка энергия кванта определяется как

. E = hν = h\frac{c}{λ},

где h – постоянная Планка, c – скорость света, λ – длина волны. Подставляя численные значения, получим:

. E = 6,62 · 10^{−34} \frac{3 · 10^{8}}{5 · 10^{−6}} = 3,97 · 10^{−19} Дж = 2,48 эВ.

4.5.2 Пример – красная граница фотоэффекта Определите красную границу фотоэффекта для цинка. Работа выхода электрона A = 4,24 эВ.

Решение Из уравнения Эйнштейна работа выхода равна энергии кванта:

. A = hν = h\frac{c}{λ}, то естьλ = \frac{hc}{A}.

Подставляя числа, получаем ответ: λ = 2,92 · 10^{−7} м.