Оглавление

4 Волны, оптика, строение вещества
 4.1 Переменный ток
  4.1.1 Пример – амплитудное и действующее значение тока
  4.1.2 Пример – две электроплитки
  4.1.3 Пример – резонанс в контуре
  4.1.4 Пример – токи при разрядке конденсатора
 4.2 Геометрическая оптика
  4.2.1 Пример – фонарь и тени
  4.2.2 Пример – преломление луча
  4.2.3 Пример – фокусное расстояние системы линз
  4.2.4 Пример – увеличенное изображение
 4.3 Волновая оптика
  4.3.1 Пример – скорость света в стекле
  4.3.2 Пример – интерференция двух источников
  4.3.3 Пример – дифракционная решетка
 4.4 Специальная теория относительности
  4.4.1 Пример – время жизни движущейся частицы
  4.4.2 Пример – полная энергия движущейся частицы
 4.5 Квантовая физика
  4.5.1 Пример – энергия кванта излучения
  4.5.2 Пример – красная граница фотоэффекта

Глава 4
Волны, оптика, строение вещества

4.1 Переменный ток

4.1.1 Пример – амплитудное и действующее значение тока

Найдите амплитудное и действующее значение тока, протекающего через электрическую лампочку мощности N = 100 Вт, включенную в сеть с напряжением U = 220 В.

Решение

Напряжение 220 В – действующее. Мощность N = UдIд. Откуда

Iд =  N ∕U   = 0,45  А.
Амплитудное значение тока
       √ --
IA  =    2I д =  0,64 А.

4.1.2 Пример – две электроплитки

Две одинаковые электрических плитки мощности N = 1 кВт включаются в электрическую сеть а) параллельно; б) последовательно. Найдите суммарную мощность плиток в первом и во втором случаях.

Решение

Сопротивления плиток R одинаковы. Обозначим напряжение сети через U. Тогда из условия N = U2∕R. И R = U2∕N.

При параллельном соединении плиток полное сопротивление R1 = R∕2. И

        2            2
N1 =  U  ∕R1   =  2U  ∕R  =  2N   = 2  кВ т.
При последовательном соединении R2 = 2R. И
N2 =  U 2∕2R   =  N ∕2  = 0,5  кВ т.

4.1.3 Пример – резонанс в контуре

Резонанс наблюдается в колебательном контуре при частоте ν = 400 Гц. Емкость конденсатора в контуре C = 1 мкФ. Какую емкость нужно подсоединить параллельно данной, чтобы частота резонанса уменьшилась до 100 Гц?

Решение

Резонансная частота определяется формулой:

           1
2π ν =  √------.
           LC
При изменении емкости:
            1
2π ν1 =  √-------.
            LC1
Тогда отношение частот:
         ∘-------
ν∕ ν1 =   C1 ∕C.
Отсюда
C1  =  C  (ν∕ν1 )2 .
При параллельном соединении конденсаторов C1 = C + C, где C– искомая емкость. Отсюда
  ′             2
C   = C  (ν ∕ν1)  -  C.
Ответ C= 15C = 15 мкФ.

4.1.4 Пример – токи при разрядке конденсатора


PIC

Рис. 4.1:


Конденсатор емкости C заряжен зарядом q0. Параллельно подсоединены две катушки индуктивности L1 и L2 (см. рис. 4.1). Ключ K замыкают. Найдите максимальные значения силы токов через катушки.

Решение

По закону Кирхгофа падение напряжения на катушках одинаково:

   ΔI1--      ΔI2--
L1      =  L2      .
   Δt          Δt
Так как начальные значения токов в катушках равны нулю, можно считать, что
L1I1  =  L2I2.
(4.1)

Тогда ясно, что максимальное значение силы токов в катушках достигается одновременно. Запишем закон сохранения энергии (при максимальном значении силы тока конденсатор не заряжен):

q2     L1I  2   I 2
--0-=  ----1-+  --2.
2C       2       2
(4.2)

Выражая из (4.1) I2 и подставляя в (4.2), получим:

        ┌│ ------------------
        │∘        L2
I1 =  q0  -----------------.
          CL1   (L1 +  L2 )
Соответственно
        ┌ ------------------
        ││        L
I2 =  q0∘ ---------1-------.
          CL2   (L1 +  L2 )
Полный ток в цепи:
                   ┌││∘ L1--+-L2--
I =  I1 +  I2 =  q0           .
                      CL1L2
Откуда ясно, что параллельно соединенные индуктивности подчиняются закону для параллельно соединенных резисторов:
1∕L  =  1 ∕L1 +  1∕L2.

4.2 Геометрическая оптика

4.2.1 Пример – фонарь и тени


PIC

Рис. 4.2:


На какой высоте H висит уличный фонарь, если тень от вертикально стоящей палки высотой h = 1 м имеет длину l = 1,5 м, а если палку поставить в конец тени, то новая длина тени L = 2,5 м?

Решение

Пусть x – начальное расстояние от подножья фонаря до палки. Тогда из рисунка 4.2, сравнивая подобные треугольники, имеем:

H ∕h  =  (l + x) ∕l.
При перемещении палки на расстояние l, аналогично получим:
H ∕h  =  (l + x +  L )∕L.
Выражая из первого уравнения x и подставляя во второе, получим:
H  =  Lh ∕(L  -  h).
Подставляя числа, получим ответ: H = 2,5 м.

4.2.2 Пример – преломление луча


PIC

Рис. 4.3:


Под каким углом должен падать световой луч на стекло, чтобы угол между отраженным и преломленным лучами был прямым? Показатель преломления стекла n.

Решение

Из рисунка следует α + β + π∕2 = π. И sin α∕ sin β = n. Тогда из первого уравнения имеем:

sinβ  =  sin(π ∕2 -  α ) = cos α.
Или tgα = n.

Ответ α = arctg n.

4.2.3 Пример – фокусное расстояние системы линз

Две тонкие линзы с фокусными расстояниями F1 и F2 стоят вплотную друг к другу. Найдите фокусное расстояние такой системы.

Решение

Забудем пока о второй линзе. Пусть расстояние от источника до первой линзы a1. Тогда изображение, даваемое первой, линзой окажется на расстоянии

      --a1F1---
b1 =
      a1 -  F1
от нее.

Источник света для второй линзы будет находиться на расстоянии

a2 =  - b1.
Тогда расстояние b2, на котором окажется изображение, даваемое системой, определится из уравнения второй линзы:
1--   1--   -1-
a  +  b  =  F  .
 2     2      2
Откуда получаем
 1     1      1     1
--- +  ---=  --- + ---.
a1     b2    F1    F2

Иными словами, оптические силы вплотную сложенных тонких линз складываются:

1     1      1
---=  ---+  ---.
F     F1    F2

Эту задачу можно решить проще. Поместим точечный источник в фокус первой линзы. Тогда после преломления в ней лучи станут параллельными. После преломления во второй линзе они пересекутся ее фокусе. То есть

1     1      1
---=  ---+  ---.
F     F1    F2

4.2.4 Пример – увеличенное изображение

Расстояние от предмета до экрана L = 1,8 м. Линзу с каким фокусным расстоянием надо взять и где следует ее поставить, чтобы получить изображение предмета, увеличенное в два раза?

Решение

Запишем формулу линзы:

1-+  1-=   1-.
a    b     F
По условию a + b = L и b∕a = F∕(a - F) = 2.

Решая систему уравнений, получим ответ: F = 0,4 м, a = 0,6 м.

4.3 Волновая оптика

4.3.1 Пример – скорость света в стекле

Длина волны света в стекле λ = 0,48 мм при частоте ν = 4 1014 Гц. Чему равна скорость света в стекле?

Решение

Скорость света определится из формулы v = νλ. Подставляя числа, получаем v = 1,92 108 м/с.

4.3.2 Пример – интерференция двух источников

Два когерентных источника света S1 и S2 освещают экран, плоскость которого параллельна S1S2. Чему равна длина волны света, если расстояние между двумя соседними максимумами освещенности на экране Δx равно 1,2 мм? Расстояние до экрана L = 4,8 м, а между источниками света d = 2 мм.

Решение

Расстояние между соседними максимумами определится по формуле

Δx  =  λL ∕d.
Отсюда λ = Δx d∕L. Подставляя числа, получим ответ λ = 500 нм.

4.3.3 Пример – дифракционная решетка

Дифракционная решетка имеет 250 штрихов на 1 мм. На решетку падает монохроматический свет с длиной волны 500 нм. Под каким углом виден первый максимум?

Решение

Для первого максимума имеем sin φ = λ∕d. Подставляя числа, получим sin φ = 0,125. Откуда φ = 7,2.

4.4 Специальная теория относительности

4.4.1 Пример – время жизни движущейся частицы

В состоянии покоя частица живет время τ0 = 10-6 с. Какое расстояние она пролетит до распада при скорости v = 2,5 108 м/с?

Решение.

В лабораторной системе отсчета время

           τ
τ  =  ∘-----0-----.
       1 -  v2 ∕c2
В этой системе длина пробега
                vτ0
l =  vτ =   ∘-----------.
             1 -  v2 ∕c2
Подставляя числа, получим ответ l = 455 м.

4.4.2 Пример – полная энергия движущейся частицы

При какой скорости частицы ее полная энергия вдвое превосходит энергию покоя?

Решение

По условию

          mc2
E  =  ∘------------ =  2mc2.
        1 -  v2∕c2
Отсюда
∘ -----------
        2   2    1-
  1 -  v ∕c   =  2.
Ответ: v = 0,86c = 2,6 105 км/с.

4.5 Квантовая физика

4.5.1 Пример – энергия кванта излучения

Определите энергию кванта излучения с длиной волны λ = 5 10-7 м.

Решение

По формуле Планка энергия кванта определяется как

               c
E  =  h ν =  h -,
               λ

где h – постоянная Планка, c – скорость света, λ – длина волны. Подставляя численные значения, получим:

                   3 ⋅ 108
E  = 6,62  ⋅ 10 - 34--------=  3,97 ⋅ 10- 19 Д ж  = 2,48  эВ.
                   5 ⋅ 10 - 6

4.5.2 Пример – красная граница фотоэффекта

Определите красную границу фотоэффекта для цинка. Работа выхода электрона A = 4,24 эВ.

Решение

Из уравнения Эйнштейна работа выхода равна энергии кванта:

              c-                  hc-
A  = h ν =  h λ ,  т о ест ь λ =  A  .
Подставляя числа, получаем ответ: λ = 2,92 10-7 м.