%\documentclass[12pt,openany]{book} %report bookebsp[a4paper,oneside] e,fleqn
%\usepackage[cp1251]{inputenc}
%\usepackage[russian]{babel}
%\usepackage{graphicx}
%\usepackage{hyperref}
%\usepackage{floatfer}
%\usepackage{caption2}
%\tolerance = 10000 \setlength{\oddsidemargin}{0.2in}
%\setlength{\evensidemargin}{0.2in} \setlength{\textwidth}{6.5in}
%\setlength{\topmargin}{-2.1cm} \setlength{\textheight}{25cm}
%\setlength{\parindent}{0pt}
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.1}
%\renewcommand{\captionlabeldelim}{.}
%\newcommand{\Vec}[1]{\mbox{\boldmath$#1$}}

%\DeclareGraphicsExtensions{.png}

%\newcommand{\ephyspicture}[3]{
%\begin{floatingfigure}{#2} \noindent \hfill
%\includegraphics[width=#2]{#1}
%\caption{}
%\label{#3} %\refstepcounter{figure}
%\end{floatingfigure}
%}

%\begin{document}
%\initfloatingfigs

\setcounter{chapter}{3}

\large

\tableofcontents

\chapter{Волны, оптика, строение вещества}

\section{Переменный ток}

\subsection{Пример -- амплитудное и действующее значение тока}
Найдите амплитудное и действующее значение тока, протекающего через
электрическую лампочку мощности $N=100\;\mbox{Вт}$, включенную в сеть с
напряжением $U=220\;\mbox{В}$.

{\bf Решение}

Напряжение 220 В -- действующее. Мощность $N=U_{\mbox{д}}I_{\mbox{д}}$. Откуда
$$
  I_{\mbox{д}}=N/U=0{,}45\;\mbox{А}.
$$
Амплитудное значение тока
$$
  I_A=\sqrt{2}I_{\mbox{д}}=0{,}64\;\mbox{А}.
$$

\subsection{Пример -- две электроплитки}
Две одинаковые электрических плитки мощности $N=1\;\mbox{кВт}$ включаются в
электрическую сеть а) параллельно; б) последовательно. Найдите суммарную
мощность плиток в первом и во втором случаях.

{\bf Решение}

Сопротивления плиток $R$ одинаковы. Обозначим напряжение сети через $U$. Тогда
из условия $N=U^2/R$. И $R=U^2/N$.

При параллельном соединении плиток полное сопротивление $R_1=R/2$. И
$$
  N_1=U^2/R_1=2U^2/R=2N=2\;\mbox{кВт}.
$$
При последовательном соединении $R_2=2R$. И
$$
  N_2=U^2/2R=N/2=0{,}5\;\mbox{кВт}.
$$

\subsection{Пример -- резонанс в контуре}
Резонанс наблюдается в колебательном контуре при частоте $\nu=400\;\mbox{Гц}$.
Емкость конденсатора в контуре $C=1\;\mbox{мкФ}$. Какую емкость нужно
подсоединить параллельно данной, чтобы частота резонанса уменьшилась до
$100\;\mbox{Гц}$?

{\bf Решение}

Резонансная частота определяется формулой:
$$
  2\pi\nu=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
$$
При изменении емкости:
$$
  2\pi\nu_1=\frac{1}{\sqrt{LC_1}}.
$$
Тогда отношение частот:
$$
  \nu/\nu_1=\sqrt{C_1/C}.
$$
Отсюда
$$
  C_1=C\left(\nu/\nu_1\right)^2.
$$
При параллельном соединении конденсаторов $C_1=C+C'$, где $C'$ -- искомая
емкость. Отсюда
$$
  C'=C\left(\nu/\nu_1\right)^2-C.
$$
{\bf Ответ} $C'=15C=15\;\mbox{мкФ}$.

\setcounter{equation}{0}
\subsection{Пример -- токи при разрядке конденсатора}

\ephyspicture{ac1}{4cm}{f:ac1}

Конденсатор емкости $C$ заряжен зарядом $q_0$. Параллельно подсоединены две
катушки индуктивности $L_1$ и $L_2$ (см. рис.~\ref{f:ac1}). Ключ $K$ замыкают.
Найдите максимальные значения силы токов через катушки.

{\bf Решение}

По закону Кирхгофа падение напряжения на катушках одинаково:
$$
  L_1\frac{\Delta I_1}{\Delta t}=L_2\frac{\Delta I_2}{\Delta t}.
$$
Так как начальные значения токов в катушках равны нулю, можно считать, что
\begin{equation}
  L_1I_1=L_2I_2. \label{eq:ind1}
\end{equation}
Тогда ясно, что максимальное значение силы токов в катушках достигается
одновременно. Запишем закон сохранения энергии (при максимальном значении силы
тока конденсатор не заряжен):
\begin{equation}
  \frac{q_0^2}{2C}=\frac{L_1I_1^2}{2}+\frac{I_2^2}{2}. \label{eq:ind2}
\end{equation}
Выражая из (\ref{eq:ind1}) $I_2$  и подставляя в (\ref{eq:ind2}), получим:
$$
  I_1=q_0\sqrt{\frac{L_2}{CL_1\left(L_1+L_2\right)}}.
$$
Соответственно
$$
  I_2=q_0\sqrt{\frac{L_1}{CL_2\left(L_1+L_2\right)}}.
$$
Полный ток в цепи:
$$
  I=I_1+I_2=q_0\sqrt{\frac{L_1+L_2}{CL_1L_2}}.
$$
Откуда ясно, что параллельно соединенные индуктивности подчиняются закону для
параллельно соединенных резисторов:
$$
  1/L=1/L_1+1/L_2.
$$

\section{Геометрическая оптика}

\subsection{Пример -- фонарь и тени}

\ephyspicture{opt-geom1}{5cm}{f:opt-geom1}

На какой высоте $H$ висит уличный фонарь, если тень от вертикально стоящей
палки высотой $h=1\;\mbox{м}$ имеет длину $l=1{,}5\;\mbox{м}$, а если палку
поставить в конец тени, то новая длина тени $L=2{,}5\;\mbox{м}$?

{\bf Решение}

Пусть $x$ -- начальное расстояние от подножья фонаря до палки. Тогда из
рисунка~\ref{f:opt-geom1}, сравнивая подобные треугольники, имеем:
$$
  H/h=(l+x)/l.
$$
При перемещении палки на расстояние $l$, аналогично получим:
$$
  H/h=(l+x+L)/L.
$$
Выражая из первого уравнения $x$ и подставляя во второе, получим:
$$
  H=Lh/(L-h).
$$
Подставляя числа, получим {\bf ответ}: $H=2{,}5\;\mbox{м}$.

\subsection{Пример -- преломление луча}

\ephyspicture{opt-geom2}{4cm}{f:opt-geom2}

Под каким углом должен падать световой луч на стекло, чтобы угол между
отраженным и преломленным лучами был прямым? Показатель преломления стекла $n$.

{\bf Решение}

Из рисунка следует $\alpha+\beta+\pi/2=\pi$. И $\sin\alpha/\sin\beta=n$. Тогда
из первого уравнения имеем:
$$
  \sin\beta=\sin(\pi/2-\alpha)=\cos\alpha.
$$
Или $\mbox{tg}\alpha=n$.

{\bf Ответ} $\alpha=\mbox{arctg}\,n$.

\subsection{Пример -- фокусное расстояние системы линз}
Две тонкие линзы с фокусными расстояниями $F_1$ и $F_2$ стоят вплотную друг к
другу. Найдите фокусное расстояние такой системы.

{\bf Решение}

<<Забудем>> пока о второй линзе. Пусть расстояние от источника до первой линзы
$a_1$. Тогда изображение, даваемое первой, линзой окажется на расстоянии
$$
  b_1=\frac{a_1F_1}{a_1-F_1}
$$
от нее.

Источник света для второй линзы будет находиться на расстоянии
$$
  a_2=-b_1.
$$
Тогда расстояние $b_2$, на котором окажется изображение, даваемое системой,
определится из уравнения второй линзы:
$$
  \frac{1}{a_2}+\frac{1}{b_2}=\frac{1}{F_2}.
$$
Откуда получаем
$$
  \frac{1}{a_1}+\frac{1}{b_2}=\frac{1}{F_1}+\frac{1}{F_2}.
$$

Иными словами, оптические силы вплотную сложенных тонких линз складываются:
$$
  \frac{1}{F}=\frac{1}{F_1}+\frac{1}{F_2}.
$$

Эту задачу можно решить проще. Поместим точечный источник в фокус первой линзы.
Тогда после преломления в ней лучи станут параллельными. После преломления во
второй линзе они пересекутся ее фокусе. То есть
$$
  \frac{1}{F}=\frac{1}{F_1}+\frac{1}{F_2}.
$$

\subsection{Пример -- увеличенное изображение}
Расстояние от предмета до экрана $L=1{,}8\;\mbox{м}$. Линзу с каким фокусным
расстоянием надо взять и где следует ее поставить, чтобы получить изображение
предмета, увеличенное в два раза?

{\bf Решение}

Запишем формулу линзы:
$$
  \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{F}.
$$
По условию $a+b=L$ и $b/a=F/(a-F)=2$.

Решая систему уравнений, получим {\bf ответ}: $F=0{,}4\;\mbox{м},\; a=0{,}6\;
\mbox{м}$.

\section{Волновая оптика}

\subsection{Пример -- скорость света в стекле}
Длина волны света в стекле $\lambda=0{,}48\;\mbox{мм}$ при частоте $\nu=4\cdot
10^{14}\;\mbox{Гц}$. Чему равна скорость света в стекле?

{\bf Решение}

Скорость света определится из формулы $v=\nu\lambda$. Подставляя числа,
получаем $v=1{,}92\cdot 10^8\;\mbox{м/с}$.

\subsection{Пример -- интерференция двух источников}
Два когерентных источника света $S_1$ и $S_2$ освещают экран, плоскость
которого параллельна $S_1S_2$. Чему равна длина волны света, если расстояние
между двумя соседними максимумами освещенности на экране $\Delta x$ равно
$1{,}2\;\mbox{мм}$? Расстояние до экрана $L=4{,}8\;\mbox{м}$, а между
источниками света $d=2\;\mbox{мм}$.

{\bf Решение}

Расстояние между соседними максимумами определится по формуле
$$
  \Delta x=\lambda L/d.
$$
Отсюда $\lambda=\Delta x\cdot d/L$. Подставляя числа, получим ответ
$\lambda=500\;\mbox{нм}$.

\subsection{Пример -- дифракционная решетка}
Дифракционная решетка имеет 250 штрихов на 1 мм. На решетку падает
монохроматический свет с длиной волны 500 нм. Под каким углом виден первый
максимум?

{\bf Решение}

Для первого максимума имеем $\sin\varphi=\lambda/d$. Подставляя числа, получим
$\sin\varphi=0{,}125$. Откуда $\varphi=7{,}2^{\circ}$.

\section{Специальная теория относительности}

\subsection{Пример -- время жизни движущейся частицы}
В состоянии покоя частица живет время $\tau_0=10^{-6}\;\mbox{с}$. Какое
расстояние она пролетит до распада при скорости $v=2{,}5\cdot
10^8\;\mbox{м/с}$?

{\bf Решение.}

В лабораторной системе отсчета время
$$
  \tau=\frac{\tau_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.
$$
В этой системе длина пробега
$$
  l=v\tau=\frac{v\tau_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.
$$
Подставляя числа, получим ответ $l=455\;\mbox{м}$.

\subsection{Пример -- полная энергия движущейся частицы}
При какой скорости частицы ее полная энергия вдвое превосходит энергию покоя?

{\bf Решение}

По условию
$$
  E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=2mc^2.
$$
Отсюда
$$
  \sqrt{1-v^2/c^2}=\frac{1}{2}.
$$
{\bf Ответ}: $v=0{,}86c=2{,}6\cdot 10^5\;\mbox{км/с}$.

\section{Квантовая физика}

\subsection{Пример -- энергия кванта излучения }
Определите энергию кванта излучения с длиной волны $\lambda=5\cdot
10^{-7}\;\mbox{м}$.

{\bf Решение}

По формуле Планка энергия кванта определяется как
$$
  E=h\nu=h\frac{c}{\lambda},
$$

где $h$ -- постоянная Планка, $c$ -- скорость света, $\lambda$ -- длина волны.
Подставляя численные значения, получим:
$$
  E=6{,}62\cdot 10^{-34}\frac{3\cdot 10^8}{5\cdot 10^{-6}}=3{,}97\cdot
  10^{-19}\;\mbox{Дж}=2{,}48\;\mbox{эВ}.
$$
\subsection{Пример -- красная граница фотоэффекта}
Определите красную границу  фотоэффекта для цинка. Работа выхода электрона
$A=4{,}24\;\mbox{эВ}$.

{\bf Решение}

Из уравнения Эйнштейна работа выхода равна энергии кванта:
$$
  A=h\nu=h\frac{c}{\lambda},\quad \mbox{то есть}\; \lambda=\frac{hc}{A}.
$$
Подставляя числа, получаем {\bf ответ}: $\lambda=2{,}92\cdot 10^{-7}\;\mbox{м}$.

\end{document}
